<!DOCTYPE html><html class="hide-aside" lang="zh-CN" data-theme="light"><head><meta charset="UTF-8"><meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge"><meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0, maximum-scale=1.0, user-scalable=no"><title>格元克里金法 | 西山晴雪的知识笔记</title><meta name="keywords" content="综述,点参考数据,空间表面,高斯场,高斯马尔可夫随机场,固定秩克里金"><meta name="author" content="西山晴雪"><meta name="copyright" content="西山晴雪"><meta name="format-detection" content="telephone=no"><meta name="theme-color" content="#ffffff"><meta name="description" content="格元克里金法">
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fa-cloudsmith"></i><span> 点模式数据</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E6%96%B9%E6%B3%95/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 空间贝叶斯方法</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%8F%98%E7%B3%BB%E6%95%B0%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 空间变系数模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 空间统计深度学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E6%97%B6%E7%A9%BA%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fas fa-atlas"></i><span> 时空统计模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E6%8D%AE%E4%B8%93%E9%A2%98/"><i class="fa-fw fa fa-anchor"></i><span> 大数据专题</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/GeoAI/GeoAI/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> GeoAI</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-database"></i><span> 基础</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E9%AB%98%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 高等数学</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E6%A6%82%E7%8E%87%E4%B8%8E%E7%BB%9F%E8%AE%A1/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 概率与统计</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E7%BA%BF%E4%BB%A3%E4%B8%8E%E7%9F%A9%E9%98%B5%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 线代与矩阵论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E6%9C%80%E4%BC%98%E5%8C%96%E7%90%86%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 最优化理论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E8%AE%BA/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 信息论</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E6%A8%A1%E5%9E%8B/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 机器学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E7%9F%A5%E8%AF%86%E5%9B%BE%E8%B0%B1/"><i class="fa-fw fa-solid fa-globe"></i><span> 知识图谱</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%9F%BA%E7%A1%80%E7%90%86%E8%AE%BA%E7%9F%A5%E8%AF%86/%E8%87%AA%E7%84%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80%E5%A4%84%E7%90%86/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 自然语言处理</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E6%A6%82%E7%8E%87%E7%BC%96%E7%A8%8B/"><i class="fa-fw fas  fa-atlas"></i><span> 概率编程</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-book-open"></i><span> 书籍</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/BayesianAnalysiswithPython2nd/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-landmark-dome"></i><span> 《Bayesian Analysis with Python》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/BayesianModelingandComputationInPython/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-graduation-cap"></i><span> 《Bayesian Modeling and Computation in Python》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/ElementsOfStatisticalLearning/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-book-atlas"></i><span> 《统计学习精要（ESL）》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/spatialSTAT_CN/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-layer-group"></i><span> 《空间统计学》</span></a></li><li><a class="site-page child" target="_blank" rel="noopener" href="https://otexts.com/fppcn/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-cloud-sun-rain"></i><span> 《预测：方法与实践》</span></a></li><li><a class="site-page child" href="https://xishansnow.github.io/MLAPP/index.html"><i class="fa-fw fa-solid  fa-robot"></i><span> 《机器学习的概率视角（MLAPP）》</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-compass"></i><span> 索引</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/archives/"><i class="fa-fw fa-solid fa-timeline"></i><span> 时间索引</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/tags/"><i class="fa-fw fas fa-tags"></i><span> 标签索引</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/"><i class="fa-fw fas fa-folder-open"></i><span> 分类索引</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-link"></i><span> 其他</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/link/food/"><i class="fa-fw fas fa-utensils"></i><span> 美食博主</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/link/photography"><i class="fa-fw fas fa-camera"></i><span> 摄影大神</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/link/paper/"><i class="fa-fw fas fa-book-open"></i><span> 学术工具</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/gallery/"><i class="fa-fw fas fa-images"></i><span> 摄影作品</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/about/"><i class="fa-fw fas fa-heart"></i><span> 关于</span></a></li></ul></div></div></div></div><div class="post" id="body-wrap"><header class="post-bg" id="page-header" style="background-image: url('/img/book_02.png')"><nav id="nav"><span id="blog_name"><a id="site-name" href="/">西山晴雪的知识笔记</a></span><div id="menus"><div id="search-button"><a class="site-page social-icon search"><i class="fas fa-search fa-fw"></i><span> 搜索</span></a></div><div class="menus_items"><div class="menus_item"><a class="site-page" href="/"><i class="fa-fw fas fa-home"></i><span> 主页</span></a></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-atom"></i><span> 预测</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%B9%BF%E4%B9%89%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fas fa-atom"></i><span> 广义线性模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%9D%9E%E5%8F%82%E6%95%B0%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fas fa-cogs"></i><span> 传统非参数模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%AB%98%E6%96%AF%E8%BF%87%E7%A8%8B/"><i class="fa-fw fas fa-school"></i><span> 高斯过程</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%A5%9E%E7%BB%8F%E7%BD%91%E7%BB%9C/"><i class="fa-fw fas fa-layer-group"></i><span> 神经网络</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A8%A1%E5%9E%8B%E9%80%89%E6%8B%A9%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E5%9D%87/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 模型选择与平均</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E9%A2%84%E6%B5%8B%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%B0%8F%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-solid fa-globe"></i><span> 小样本学习</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-file-export"></i><span> 生成</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E4%BC%A0%E7%BB%9F%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%9B%BE%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 传统概率图模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%8E%BB%E5%B0%94%E5%85%B9%E6%9B%BC%E6%9C%BA/"><i class="fa-fw fa-solid fa-deezer"></i><span> 玻耳兹曼机</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%8F%98%E5%88%86%E8%87%AA%E7%BC%96%E7%A0%81%E5%99%A8/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 变分自编码器</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%87%AA%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 自回归模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%BD%92%E4%B8%80%E5%8C%96%E6%B5%81/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 归一化流</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%89%A9%E6%95%A3%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 扩散模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%83%BD%E9%87%8F%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-gas-pump"></i><span> 能量模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E7%94%9F%E6%88%90%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%94%9F%E6%88%90%E5%BC%8F%E5%AF%B9%E6%8A%97%E7%BD%91%E7%BB%9C/"><i class="fa-fw fa-solid fa-globe"></i><span> 生成式对抗网络</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-magnet"></i><span> 挖掘</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%9A%90%E5%9B%A0%E5%AD%90%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 隐因子模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E7%8A%B6%E6%80%81%E7%A9%BA%E9%97%B4%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-deezer"></i><span> 状态空间模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%9B%BE%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 概率图学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%9D%9E%E5%8F%82%E6%95%B0%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 非参数贝叶斯模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%AD%A6%E4%B9%A0/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 表示学习</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E9%87%8A%E6%80%A7/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 可解释性</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E9%99%8D%E7%BB%B4/"><i class="fa-fw fa-solid fa-gas-pump"></i><span> 降维</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E5%8F%91%E7%8E%B0%E4%BB%BB%E5%8A%A1/%E8%81%9A%E7%B1%BB/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cogs"></i><span> 聚类</span></a></li></ul></div><div class="menus_item"><a class="site-page group hide" href="javascript:void(0);"><i class="fa-fw fas fa-compass"></i><span> 贝叶斯</span><i class="fas fa-chevron-down"></i></a><ul class="menus_item_child"><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E6%A6%82%E8%A7%88/"><i class="fa-fw fa-solid fa-hands-holding"></i><span> 概览</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E6%A6%82%E7%8E%87%E5%9B%BE%E6%A8%A1%E5%9E%8B/"><i class="fa-fw fa-brands fa-codepen"></i><span> 概率图模型</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E6%B4%9B%E6%8E%A8%E6%96%AD/"><i class="fa-fw fa-solid fa-chart-area"></i><span> 蒙特卡罗推断</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E5%8F%98%E5%88%86%E6%8E%A8%E6%96%AD/"><i class="fa-fw fa-brands fa-cloudsmith"></i><span> 变分推断</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E8%BF%91%E4%BC%BC%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E8%AE%A1%E7%AE%97/"><i class="fa-fw fa-solid fa-cube"></i><span> 近似贝叶斯计算</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E6%A8%A1%E5%9E%8B%E6%AF%94%E8%BE%83%E4%B8%8E%E9%80%89%E6%8B%A9/"><i class="fa-fw fa-solid fa-ghost"></i><span> 模型比较与选择</span></a></li><li><a class="site-page child" href="/categories/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E7%BB%9F%E8%AE%A1/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E4%BC%98%E5%8C%96/"><i class="fa-fw fa-solid fa-gas-pump"></i><span> 贝叶斯优化</span></a></li></ul></div><div 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<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://cdn.jsdelivr.net/hint.css/2.4.1/hint.min.css"><p>用于分析大型空间数据集的多分辨率高斯过程模型</p>
<p>【摘 为要】 我们开发了一个多分辨率模型来预测基于不规则间隔观察的二维空间场。每个分辨率级别的径向基函数都是使用 Wendland 紧凑支持的相关函数构建的，节点排列在矩形网格上。每个更精细级别的网格增加两倍，并且基函数按比例缩放以具有恒定的重叠。在每个分辨率级别与基函数关联的系数根据高斯马尔可夫随机场 (GMRF) 分布，并利用基被组织为格的事实。几个数值示例和分析结果表明，该方案可以很好地逼近标准协方差函数，例如 Mat en，并且还具有适应更复杂形状的灵活性。该模型的另一个重要特征是它可以应用于大型空间数据集的统计推断，因为计算中的关键矩阵是稀疏的。计算效率适用于似然评估和空间预测。</p>
<p>【原 文】 Nychka, D. et al. (2015) ‘A multiresolution gaussian process model for the analysis of large spatial datasets’, Journal of Computational and Graphical Statistics, 24(2), pp. 579–599. Available at: <a target="_blank" rel="noopener" href="https://doi.org/10.1080/10618600.2014.914946">https://doi.org/10.1080/10618600.2014.914946</a>.</p>
<h2 id="1-简介">1 简介</h2>
<p>空间数据的统计方法是一个发达的领域，其根源在于地质统计学和多元分析。最近，贝叶斯分层模型的突破增加了丰富的新模型类别，用于处理异质空间数据和空间过程的间接测量（Banerjee 等人，2003 年；Cressie 和 Wikle，2011 年）。空间统计的这种发展与地球科学中新出现的挑战相吻合，这些挑战涉及新型观测以及此类观测与复杂数值模型的比较。例如，随着气候科学的注意力转向了解未来气候的区域和局部变化，需要分析气候模型的高分辨率模拟，并将它们与地面和遥感观测进行详细的比较。这些类型的地球科学应用程序的特点是存在大量的空间位置。标准技术的应用通常是不可行的，或者至少在给定标准算法和典型计算资源的情况下将花费不可接受的长时间。此外，地球物理过程往往在空间上具有多尺度特征，这需要统计方法来考虑潜在的复杂空间依赖性，而不仅仅是针对相关范围和过程平滑度进行调整的简单参数模型。这项工作开发了一个新的统计模型来解决这两个挑战；我们的模型适用于大型数据集，并支持更灵活的协方差结构，可以是更多标准协方差函数的混合。因此，我们的模型填补了当前统计方法的空白。</p>
<p>我们假设空间观察 {yi} 是在独特的二维空间位置 {xi},for1≤ i ≤ n，根据加性模型</p>
<p>yi = ZT i d + g(xi) + i,</p>
<p>其中 Z 是协变量矩阵，d 是线性参数向量，g 是平滑高斯过程，i 是平均零测量误差。参数 d 表示该模型中的固定效应。</p>
<p>此设置中的统计问题是在观测不可用的位置确定 g 并量化空间预测的不确定性。鉴于我们的主要目标是开发一种可接受的方法来处理大型数据集，我们寻求在模型和方法的复杂性与有效数据分析的可行性之间取得平衡。我们将重点关注协方差和其他模型组件中参数的最大似然估计。对于预测，我们将在给定数据和其他统计参数的情况下采用 g 的条件分布。我们的方法将使用多分辨率 (MR) 基础的场表示与系数的统计模型结合为格上的过程。从这个意义上说，它融合了固定秩克里金法（Cressie 和 Johannesson 2008；Katzfuss 和 Cressie 2011）和随机偏微分方程 (SPDE) 的思想，包括 Lindgren 和 Rue (2007)、Rue 和 Held (2005) 的工作, 以及 Lindgren、Rue 和 Lindstr om (2011) (LR2011)。将 (1) 中的未知空间过程视为 L 个独立过程的总和很有用，gl(x)，对于 1 ≤ l ≤ L，边际方差 {ραl}，并且</p>
<p>g(x) = L ∑ l=1 gl(x)</p>
<p>这里，参数 ρ&gt;0 可用作协方差矩阵的主要缩放参数，并且 α = (α1,…,αL)T 的元素总和为 1。这样，g 的整体空间依赖性可能比每个单独分量的空间依赖性复杂得多。每个分量 gl 通过基函数展开定义为</p>
<p>gl(x) = m(l) ∑ j =1 cl j φj,l(x)</p>
<p>其中 φj,l,1≤ j ≤ m(l) 是一系列固定基函数，cl 是均值为零的分布多元正态系数向量和协方差矩阵 ρ Q−1 l。 Q-1 l 也可能取决于附加参数。因此，g 的模型是具有随机系数的固定基函数之和。协方差矩阵的符号 Q−1 l 的解释，强调其通过精度矩阵的规范，在以下段落中给出。</p>
<p>我们的两个主要思想解决了系数的基函数和协方差模型。我们使用在分辨率递增的规则网格上组织的径向基函数族。由于这个特性，这些径向基函数具有紧凑的支持，并且像小波基一样提供计算效率。在我们的处理中，分辨率的每一次增加都将在每个维度上增加两倍，并且与更精细的空间尺度相关的级别将具有更多的基函数。相反，表示具有简约性，因为较粗糙的尺度需要较少的基函数来近似随机过程。每个分辨率级别的系数之间的空间依赖性使用高斯马尔可夫随机场 (GMRF) 建模，特别是空间自回归 (SAR) 模型。基函数组织在格子上的事实为 SAR 提供了一个简单的形式及其精度矩阵，我们将其表示为 Ql。这种方法的好处是 Ql 是稀疏的，即使协方差矩阵 Q−1 l 本身可以是稠密的。因此，即使精度矩阵是稀疏的，gl 也可以在格子中广泛分离的系数之间表现出长程相关性。</p>
<p>我们发现，这种 MR 基与每个级别系数的伴随 GMRF 的组合可以近似标准的协方差函数族，例如 Mat ern，而且还为更一般的空间依赖性提供了丰富的模型。应该注意的是，即使我们模型的潜在组件将利用规则网格，我们也没有对观察或预测位置做出任何假设。我们还能够给出一些分析结果，说明为什么该模型可以近似呈现不同平滑度的一系列空间过程。</p>
<p>该模型的许多成分并不新鲜，但是，它们的特定组合以及针对大型和不规则空间数据集的高效计算的观点在以前的工作中并未得到利用。关键是以一种不损害具有长程相关性的协方差模型和具有许多自由度的模型的方式将稀疏性引入到计算中。这是通过使用紧凑支持的径向基函数并直接计算基系数的精度矩阵而不是协方差矩阵来实现的。此外，我们添加了边际过程方差的归一化，可以减少使用离散基础的伪影。最终结果是一个灵活的协方差模型，其等级可与或大于空间位置的数量，并且可以在适度的笔记本电脑上完成空间预测、条件模拟和可能性评估。</p>
<p>最近关于大型空间数据集统计方法的工作使用了固定秩克里金法来使计算可行。这可以采用少量基函数和非结构化密集协方差矩阵的形式，例如 Cressie 和 Johannesson (2008) 中的形式，或者采用大量基函数和稀疏模型的形式，例如 Q 的马尔可夫随机场 (Eidsvik等人，2010 年）。 Stein (2008) 以及后来的 Sang 和 Huang (2011) 提出了一种有见地的方法，其中低秩过程与具有紧支持协方差的过程相结合。两个过程的这种叠加预示着我们的模型，我们在其中考虑多个尺度的协方差混合。反映似然计算承担大部分计算成本的事实，已经通过对观测值进行分箱和使用光谱方法（Fuentes 2007）或考虑部分似然（Stein、Welty 和 Chi）来研究空间模型似然的近似值2004) 或伪似然 (Caragea and Smith 2007)。我们的方法与这些论文的不同之处在于我们能够准确计算可能性。</p>
<p>下一节描述我们的模型及其在过程和测量误差具有高斯分布的设置下的可能性。第 3 节概述了计算算法并给出了一些时序结果。第 4 节报告了该基础/格子模型的近似特性，并在附录中提供了渐近结果的证明。第 5 节提供了气候降水数据集的示例，第 6 节有我们的结论。本文中的大部分计算都可以使用 R 中的 LatticeKrig 包重现，它作为实现数值方法的补充和第 5 节数据集的现成来源。</p>
<h2 id="2-空间模型">2 空间模型</h2>
<h3 id="2-1-过程和观测模型">2.1 过程和观测模型</h3>
<p>虽然我们将 g 作为 MR 引入，但为了简化本节中的符号，可以方便地将此模型视为 g(x) = ∑m j=1 cj φj (x)，其中我们将 MR 基合并为一个基，将 MR 系数转化为单个系数向量，m 是基函数的总数。</p>
<p>基于介绍中的设置，g 将是具有协方差矩阵 ρ Q−1 和协方差函数的均值零高斯过程：</p>
<p>cov(g(x),g(x′)) = m ∑ j,k=1 ρ Q−1 j,kφj (x),φk(x′),</p>
<p>Q−1 的维度为 m × m。</p>
<p>关于 (1) 中的观察模型，我们假设 ={ 1,…, n} 是不相关的，正态分布，均值为零，协方差为 σ 2W -1。这里我们假设 σ 2 是测量误差分布的自由参数，W 是已知但稀疏的精度矩阵。在大多数应用中，W 是对角线的，我们在第 5 节中将 W 视为我们示例的恒等式。设 是回归矩阵，列索引基函数，行索引位置。 i,j = φj (xi)。有了这些定义，现在可以用矩阵向量符号将 (1) 重写为 y = Zd + c + 并收集我们拥有的固定和随机分量</p>
<p>y ∼ MN(Zd,ρ Q−1 T + σ 2W −1)。</p>
<p>作为最后一步，重新参数化此模型以更好地与计算啮合并在某些情况下简化公式是有用的。令 λ = σ 2/ρ 并且我们根据 λ 和 ρ 重新参数化 σ（即 σ 2 = λρ ）。现在设 Mλ = ( Q−1 T + λW −1) 并且 (5) 与</p>
<p>y∼MN(Zd,ρMλ)</p>
<h3 id="2-2-空间估计">2.2 空间估计</h3>
<p>从 (5) 我们有对数似然</p>
<p>( y|ρ,Q−1,λ,d) = (−1/2)( y − Zd)T(ρ Mλ)−1( y − Zd) − (1/2)log|ρ Mλ|+( n/2)log(π )</p>
<p>该表达式用于查找固定效应和协方差参数的最大似然估计 (MLE)。对于计算，首先通过分析最大化固定效应和协方差参数 ρ 以减少优化参数的数量通常很方便。对于固定的 ρ 和 Q−1，d 的 MLE 也是广义最小二乘法 (GLS) 估计</p>
<p>d = (ZT M−1 λ Z)−1 ZT M−1 λ y</p>
<p>请注意，此估计仅取决于 λ 而不是 ρ。设置 r = y − Z ^ d 并代入完整的对数似然给定</p>
<p>( y|ρ, Q−1,σ, ^ d) = (−1/2)(rT (ρ M)−1 λ r) − (1/2)log|ρ Mλ|+(n/2)log (π)</p>
<p>最后，上面给出的表达式可以在 ρ 上解析最大化，给出 ^ ρ= rT M−1 λ r/n。该估计值可以代回 (7) 以给出仅取决于 λ = σ 2/ρ 和任何其他确定 Q−1 的协方差参数的配置文件对数似然。</p>
<p>基础系数的推断取决于条件正态分布的标准结果。具体来说，在给定 y 和模型中所有其他参数为真值的情况下，c 的条件分布是多元正态分布</p>
<p>[c|| y, d,σ,ρ, Q−1] ∼ MN(^ c,ρQ−1 − ρ Q−1 T (Mλ)−1 Q−1)</p>
<p>c = Q−1 T M−1 λ ( y − Zd)</p>
<p>这个条件均值 ^ c 被认为是 c 的点估计（或预测），通过线性，g(x) 在任意位置的空间预测是 ^ g(x) = ∑m j=1 φj (x ) ^ cj 。通常，空间协变量的向量 z(x) 也在此位置提供。为了重现熟悉的通用克里金估计，d 设置为上面给出的 GLS 估计，因此完整的空间预测为：y(x) = z(x)T d+ g(x)。</p>
<h3 id="2-3-径向基函数（RBF）">2.3 径向基函数（RBF）</h3>
<p>我们的完整模型提出了一个 MR 基础，其中每个级别的分辨率都采用相同的形式，因此我们从描述通用尺度上的单个级别的基础函数开始。基函数本质上是单个径向函数的平移和缩放。令 φ 为一维的单峰对称函数，令 {uj },1≤ j ≤ m 为二维点的矩形网格。与径向基函数术语一致，我们将网格点称为节点，并令 θ 为尺度参数。基函数是</p>
<p>φ∗ j = φ(||x − uj ||/θ )</p>
<p>在几何上，基础将由以节点为中心的凸起组成，重叠由 θ 的选择控制。在这项工作中，我们将 φ 视为在 [0, 1] 上具有支持的二维 Wendland 协方差 (Wendland 1995)。 Wendland 函数是 [0, 1] 上的多项式。它们也是正定的，当基用于插值时，这是一个很有吸引力的特性。在这项工作中，我们使用一个 Wendland 函数，该函数在三个维度上有效并且属于 C4：</p>
<p>φ(d) = { (1 − d)6(35d2 + 18d + 3)/3for 0≤ d ≤ 1 0 否则。</p>
<p>在这项工作的所有示例中，我们将比例因子固定为网格间距的 2.5 倍。因此，在二维和远离边缘的情况下，每个 RBF 与其他 68 个 RBF 重叠。我们发现根据经验，这种重叠量对于避免格子协方差函数中的明显伪影是必要的</p>
<h3 id="2-4-马尔可夫随机场">2.4 马尔可夫随机场</h3>
<p>在上一节的同时，我们描述了在单一分辨率水平上构建的基系数的随机模型。 MR 方面在每个级别复制此模型。单个级别的系数向量 c 遵循高斯马尔可夫随机场 (GMRF)，并由节点组织。我们将假设系数服从空间自回归 (SAR) 的特殊情况。 c 的这个模型与 LR2011 中的模型的不同之处在于我们独立于基的选择来定义 SAR</p>
<p>给定一个自回归矩阵 B 和 e，一个分布为 N (0,ρI) 的随机向量，我们根据 c = B−1e 构造 c 的分布。自回归解释是 Bc = e。也就是说，B 将相关场转换为方差为 ρ 的白噪声。为了我们的使用，我们将限制 B 为稀疏的。令 Nj 表示 uj 的最近邻居的索引。对于内部点，这将是四个邻居，但对于边角处的节点则更少。在 LR2011 之后，对于内部格点，我们取 Bj,j = 4 + κ2，其中 κ ≥ 0，并且非对角线元素为 -1。尽管可以修改晶格边缘的权重以近似自由边界条件，但我们发现添加缓冲区并保持零边界条件提供了一种更简单的解决方案。第 2.6 节中讨论的归一化也减少了边界效应。通过线性 c 具有协方差矩阵 ρ B−1 B−T 和由 Q = (1/ρ)BT B 给出的精度矩阵。因为 B 被公式化为场上的无条件权重，所以 B 的任何选择都将导致有效的协方差和所以 Q 将是正定的。众所周知，SAR 权重不直接指定马尔可夫结构。对于四个邻居的非零权重，Q 将是一个稀疏矩阵，每行具有 12 个非零元素：一阶、二阶和三阶邻居。因此，c 将是一个以这个更大的点群为条件的 GMRF。 LR2011 中的结果提供了此 GMRF 与空间协方差 Mat ern 族的近似值之间的联系。在这种特殊情况下，人们期望上述 SAR 将近似于 LR2011 中具有尺度参数 κ 且平滑度 ν = 1 的 Mat ern 过程。</p>
<h3 id="2-5-多分辨率过程的扩展">2.5 多分辨率过程的扩展</h3>
<p>在前面的部分中，我们为特定网格开发了一个基础和一个协方差。 MR 模型通过连续将网格点的间距减半并为每个级别的系数指定 GMRF 来扩展这一想法。在水平之间，我们假设系数是独立的。为了明确这个想法，假设空间域是矩形 [a1,a2] × [b1,b2] 并且初始网格 {u1 j } 是用 mx × my 网格点布置的，间距为 δ ≡ (a2 − a1 )/(mx − 1) = (b2 − b1)/(my − 1)。注意这里的约束条件是空间域和网格点的数量是匹配的，这样网格间距在 x 和 y 维度上是相同的。随后的网格定义为间距 δl = δ2−(l−1) 并产生一系列网格 {ul j } 从级别 l 到级别 l + 1，其大小大致增加四倍。定义基函数对于第 l 级，我们采用 θl = θ/2(l−1) 并定义径向基函数，如 (10) 中所示。设 L 表示总层数，则（未归一化的）MR 基础为 φ∗j,l = φ(||x − ul j ||/θl)，其中 1 ≤ l ≤ L,1≤ j ≤ m(l ), 和 m(l) = (mx − 1)(my − 1)4l−1 + mx + my + 1。基函数的总数大约为 (mxmy)(4L)（这不准确，因为 m 网格下一级再细分为 2m − 1 分）。当添加缓冲区节点以减少边缘效应时，我们将这些作为固定数量的额外点添加到网格的每个边缘。当在每个级别添加缓冲区节点时，基函数的数量遵循更复杂的表达式，但它仍然以大约 4L 的速度增长。</p>
<p>回想一下，与每个级别相关的系数向量是 cl，g 的 MR 表示由等式 (2) 和 (3) 给出，其中包含非归一化 MR 基 {φ* j,l} 或第 2.6 节中描述的归一化基.应该注意的是，MR 基础本身不会造成太多额外的计算负担。单级基函数和 MR 的主要区别在于内部矩阵 T 中的附加非零元素，这是由于粗分辨率基函数与更精细分辨率基函数重叠。虽然 MR 的内积矩阵中的非零元素较多，但重叠的粗函数较少，因此非零元素的总数并没有显着增加。此功能可以在第 4 节的时序结果中看到。</p>
<p>它有助于说明基函数的数量如何取决于级别的数量。假设为方形空间域选择 10 × 10 的初始网格，L = 4，并且在每侧添加 5 个额外的缓冲节点点以缓和边缘效应。第一层将包括 (10 + 10) × (10 + 10) = 400 个网格点，包括空间域所有四个边上的缓冲区。第二级将网格间距减小两倍，在空间域中包含 19 × 19 个网格点，并与较粗的网格对齐。在每条边上附加 5 个缓冲点，总共 29 × 29 = 841 个点。随后的级别产生 (37 + 10) × (37 + 10) = 2209 和 (73 + 10) × (73 + 10) = 6889 个网格点。这四个级别总和为 10,399 个网格点/基函数，其中 7159 个具有包含在空间域中的节点。</p>
<p>一般来说，我们可以将这些系数叠加为 c = (c1, c2,…,cL)，SAR 模型的自然扩展是一个稀疏矩阵 B，使得 Bc 为 N (0,ρI)。尽管 B 可以是一般矩阵，但我们发现将注意力限制在块对角线形式上很有用。令 α1,α2,…,αL 为正权重向量，对于第 l 层，我们假设 cl 遵循具有 SAR 矩阵的 GMRF，(1/√αl)Bl。这里的 Bl 与单层中的形式相同但 κ 参数可能取决于级别。可以将 ραl 解释为参数化第 l 级过程的边际方差，而 κl 是一个近似的尺度参数。因此我们得到 B 和精度矩阵的分块对角线形式：</p>
<p>Q = (1/ρ) ⎡ ⎢⎢⎣ (1/α1)(B1)T B1 0 … 0 0 /α (2 1)(B2)T B2 … 0 00 … 0 00/αL 0)( (B 1L)T BL ⎤ ⎥⎥⎦ 。</p>
<p>Q 的维度 m × m 等于基函数的总数，但当然是稀疏的，c 的长度为 m。</p>
<h3 id="2-6-近似平稳的归一化">2.6 近似平稳的归一化</h3>
<p>基于 Q 的特定形式，我们发现对基函数进行归一化以更好地逼近平稳协方差函数很有用。众所周知，有限格上的 GMRF 会在协方差模型中表现出边缘效应和其他非物理的伪影。此外，在离散集上具有节点的径向基函数也可以对隐含协方差矩阵中的模式做出贡献。对这种影响的一个明显校正是对基函数进行加权，以便在评估 (4) 时，人们将获得恒定的边际方差。因此，让 (4) 中的 ω(x) = √cov(g(x),g(x)) 并将基函数归一化为 φj (x) = φ* j (x)/ω(x)。因为这种归一化与协方差模型的选择有关，这意味着基础不再独立于 GMRF 参数，并且这种联系增加了更多的计算开销。然而，计算 ω(x) 可以利用稀疏精度矩阵，我们相信减少边缘效应和其他伪影是值得额外计算的。</p>
<h2 id="3-计算策略和时间结果">3 计算策略和时间结果</h2>
<p>通过明智地使用稀疏矩阵分解和矩阵恒等式，可以有效地找到上一节中定义的估计量。大多数这些计算都依赖于将 、W 和 Q 构造为稀疏矩阵。我们的基本方法利用了一个事实，即稀疏正定矩阵可以分解为稀疏 Cholesky 分解。通过这种分解，可以有效地评估逆矩阵和行列式。在本节中，我们概述了关键的数字步骤，读者应参考 Nychka 等人。 (2013) 和注释的 LatticeKrig 包源代码以获取详细信息。</p>
<h3 id="3-1-空间预测和似然计算">3.1 空间预测和似然计算</h3>
<p>说明计算策略的基本计算是计算任意向量 w 的 M−1 λ w。回想一下 Mλ = Q−1 T + λW −1 并按面值取 Mλ 是一个密集的、可能很大的矩阵，因此很难直接处理。该策略是使用矩阵恒等式转换 Mλ 以包含稀疏精度矩阵。可以应用 ShermanMorrison-Woodbury 公式（Henderson 和 Searle 1981）给出</p>
<p>M −1 λ = ( Q−1 T + λW −1)−1 = (1/λ)(W − (W )G−1( T W ))</p>
<p>其中 G = T W + λ Q。因为 、W 和 Q 都是稀疏的，所以 G 也将是稀疏且正定的。使用这个恒等式，现在可以使用 G 的稀疏 Cholesky 分解来求解 v 的线性系统 Gv = ( T W )w 并且它遵循</p>
<p>M −1 λ w = (1/λ)(W w − W v)</p>
<p>请注意，此计算策略的一个重要限制是 λ 不能完全为零。为了计算 ^ c，我们使用恒等式 ^ c = G−1 T W ( y − Z ^ d) 并利用 和 W 的稀疏性进行乘法和 G 的稀疏 Cholesky 分解。最后注意 ^ g(x) 的评估如果总和仅限于在 x 处非零的基函数，也可以以有效的方式计算。</p>
<p>另一个密集计算发生在可能性作为 Mλ 的行列式。这里我们使用西尔维斯特定理的一个特例：对于 n × m 矩阵 U 和单位矩阵 I n 和 Im，|UUT + In|=|UT U + Im |。使用矩阵的基本属性，可以推导出恒等式 |Mλ|=λn−m|G|/(| Q||W |)。矩阵 W、G 和 Q 都是正定且稀疏的，因此可以从 Cholesky 分解的对角线元素的乘积中有效地找到行列式。</p>
<p>基于利用矩阵稀疏性和这些经典矩阵恒等式，我们可以有效地似然计算。使用此选项，我们只需对协方差参数使用标准的最大似然推理方法。</p>
<p>在这项工作中，我们建议使用众所周知的条件模拟蒙特卡罗技术来查找预测误差。在协方差模型已知的假设下，根据给定观察值的 g 和 d 的条件分布生成样本。预测方差可以从这个条件分布的蒙特卡洛绘制中近似得出。该计算可以分两步完成：在预测和观测位置模拟无条件随机过程，然后根据合成/模拟观测确定预测误差以实现这一目标。第一步是多元模拟的标准应用，通过基于精度矩阵的 Cholesky 分解求解线性系统，第二步是应用于实际数据的相同空间估计器</p>
<p>在这里，我们展示了一些计算的计时结果，主要比较是与克里金法相关的密集矩阵计算。空间位置均匀分布在域 [0, 1] × [0, 1] 上，数量在 500 到 20,000 之间变化。为指数协方差模型和格子 MR 模型的几种选择找到了似然函数和空间预测。对于这些算法，计算时间主要由基本线性代数决定，不依赖于空间数据的值、空间位置的分布和协方差参数的具体值。为实现标准克里金法的 R 包字段（Furrer、Nychka 和 Sain 2012）中的函数 mKrig 和实现 MR 基函数模型的 R 包 LatticeKrig（Nychka 等人，2012 年）中的函数 LKrig 完成计时。报告的时间是针对 Macbook Pro 笔记本电脑（2.3 Ghz Intel Core i7、8Gb 内存）和 R 3.0.1（R Development Core Team 2011）的单个处理器。这两个函数都计算固定协方差模型的观测值预测，评估似然性，并计算用于预测任意点表面的系数。尽管函数输出不同，但 mKrig 和 LKrig 中的 Cholesky 分解在大 n 时占主导地位。</p>
<p>图 1 使用 R 实用程序 system.time 报告了这些函数的总时间（“挂钟”时间）。虚线是标准“kriging”估计的时间，使用 mKrig 最多 10,000 个观测值，时间外推到 20,000 个。 20,000 次观测和标准克里金法的时间估计约为 1300 秒（超过 21 分钟）。黑色实线是单层函数 LKrig 的时间，选择的基函数数量大约等于样本大小，并且基函数归一化为具有单位边际方差。黑色虚线是相同的方案，但没有对基函数进行归一化。请注意，对于 20,000 个空间位置，这种情况下的时间为 66 秒（标准化）和 5.4 秒（非标准化）。作为一个实用的经验法则，当观察数大于 1000 时，具有归一化的单级模型至少快 5 倍，当有 20,000 次观察时增加到 20 倍。</p>
<p>灰线报告时序，基函数的数量保持固定，并且有（实线）和没有（虚线）归一化。标记为 10 的线有四个级别 (L = 4) 的 MR，其中最粗略的基础以 10 × 10 网格 (mx = my = 10) 为中心，并给出 7159 个基函数，节点在空间域内，总共 10,339 个。标记为 20 的线具有最粗糙的网格，即 20 × 20 网格 (mx = my = 20)，空间域内共有 31,259 个基函数，总计 37,439 个。后一种情况的内存主要由稀疏矩阵 G 的存储组成，该矩阵 G 包含 7.4 × 106 个非零元素并占用 60 Mb 的内存。</p>
<p>这些结果表明，即使对于 20,000 个空间位置，密集矩阵计算和似然性评估也可以节省大量时间。单级结果（黑色实线和虚线）比密集矩阵克里金法更有效，即使样本量适中，也表明了稀疏矩阵方法的价值。一旦观测值的数量与基函数的数量相当或大于基函数的数量，多分辨率模型因为它具有更多的自由度而变得与密集矩阵克里金法具有竞争力。非标准化计算时间特别引人注目，主要由第 3 节中讨论的矩阵 G 的稀疏 Cholesky 分解决定。对于这项工作，我们没有在标准化步骤中利用更有效的算法，因此标准化和标准化之间存在显着差异非规范化案例。正如预期的那样，具有固定数量基函数（“10”和“20”案例）的两个协方差模型更接近线性作为函数样本大小。在样本量约为 10,400 时，10 × 10、L = 4 的情况和单级模型 103 × 103、L = 1 的情况具有相同数量的基函数。然而，由于级别的差异，四级模型的 G 具有 1.88 × 106 个非零元素，而一级模型的 G 为 0.67 × 106。这种稀疏性差异解释了非标准化计算的时间差异。归一化案例显然由归一化计算主导，这就是它们在时间上更接近的原因。</p>
<h2 id="4-协方差模型的性质">4. 协方差模型的性质</h2>
<h3 id="4-1-与卷积过程的比较">4.1 与卷积过程的比较</h3>
<p>作为基础，我们首先考虑径向基函数之和的卷积近似。首先我们定义一个单一的卷积过程，然后将其扩展到无限混合。令 z 为单位方差、各向同性、二维 Mat ern 过程，具有空间尺度参数 κ、平滑度 ν 和 Cν(||x − x′||/κ) = E(z(x)z(x′ )), 相应的协方差函数。还令 φ 为 φ(0) = 1 的紧支撑 RBF。对于 θ&gt;0a 尺度参数，定义卷积过程</p>
<p>g(x) = ∫ R2 1 θ 2 φ(||x − u||/θ )z(u)d u</p>
<p>这种用于统计建模的过程是成熟的（参见 Higdon 1998），并且如所写将是高斯分布、均值为零并具有各向同性协方差函数。现在考虑一系列独立的 Mat ern 过程，zl(x) 和 {θl} 卷积核的一系列尺度参数和“硬线”κl = 1/θl。这些根据 (A.1) 定义了具有相同边际方差的一系列卷积过程 gl(x)。最后，令 kl 表示第 l 个过程的协方差函数。给定可求和的非负权重 {αk} 我们导致 MR 过程为高斯分布，均值为零且协方差由下式给出</p>
<p>k(x, x′) = ∞ ∑ l=1 αlkl(x, x′)</p>
<p>鉴于此表示，一个理论问题是 {θl} 和 {αl} 的选择如何影响 k 的属性。特别是，是否有可能构建表示与卷积中使用的基函数和材料过程所隐含的平滑程度不同的协方差？通常，各向同性、平稳的高斯过程的平滑度与协方差函数在原点处的可微性有关。另一种方法是表征过程谱密度的尾部行为。在各向同性下，光谱密度将是径向对称的，我们关注衰减率随着 r 的增加。特别是，对于尾部受固定多项式衰减限制的谱密度，我们将采用多项式阶数作为过程平滑度的方便度量。对于 Mat ern 族，平滑度为 ν 且维度为 2 时，当 r →∞ 时，谱密度将具有遵循 r−(2ν+2) 的尾部行为。例如，指数协方差 (ν= 1/2) 的谱密度将以多项式速率 r−3 减小。具有相同阶尾部行为的协方差谱可能会提供一个在小空间尺度上具有与指数相似平滑度的过程模型。以下定理报告了 MR 过程对于不同的比例和权重序列选择的尾部行为。一个有趣的结果是，MR 过程可以为谱密度的尾部再现不同衰减率的尺度，并且可以恢复指数协方差的 −3 衰减率。</p>
<div class="note info no-icon flat"><p>定理 1. 假设 1. φ 是 K 阶二维 Wendland 协方差函数。 2. Mat en 过程的平滑度固定为 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>ν</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mtext>。</mtext><mn>3.</mn><mi>α</mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>e</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>β</mi><mn>1</mn><mi>l</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">ν = 1。 3. αl = e−2β1l</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.06366em;">ν</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mord cjk_fallback">。</span><span class="mord">3.</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0037em;">α</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6667em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8889em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05278em;">β</span><span class="mord">1</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span></span></span></span> 和 4θl = e−β2l4 其中4β1、β2 &gt; 04，且 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>β</mi><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">/</mi><mi>β</mi><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>&lt;</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>5</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>K</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(β1/β2 + 1) &lt; (5 + 2K)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05278em;">β</span><span class="mord">1/</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05278em;">β</span><span class="mord">2</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord">5</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>。</p>
<p>如果 S® 表示 g（或 k）相对于径向坐标的谱密度，则存在独立于 r,<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \< at position 2: 0\̲<̲A1,A2 < ∞">0\&lt;A1,A2 &lt; ∞</span> 的常数，使得</p>
<p><span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \< at position 4: A1 \̲<̲S(r)r2μ+2 \<A2，…">A1 \&lt;S(r)r2μ+2 \&lt;A2，μ = β1/β2</span>。</p>
</div>
<p>推论 1. 在假设 1 和 2 以及 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>θ</mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mi>l</mi><mtext>、</mtext><mi>α</mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>θ</mi><mn>2</mn><mi>ν</mi><mi>l</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">θl = 2−l、αl = θ 2ν l</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">θl</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord cjk_fallback">、</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0037em;">α</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">θ</span><span class="mord">2</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.06366em;">ν</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span></span></span></span> 和 <span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>ν</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>&lt;</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>5</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>K</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(ν + 1) &lt; (5 + 2K)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.06366em;">ν</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord">5</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.07153em;">K</span><span class="mclose">)</span></span></span></span> 下，S® 将具有尾部行为，其多项式阶数与 two-具有平滑度 ν 的维度、Mat en 过程谱。该定理的证明在附录中给出。</p>
<h3 id="4-2-数值逼近">4.2 数值逼近</h3>
<p>理论近似基于基函数与 Mat ́ ern 协方差的连续卷积。我们发现，当考虑六个或更多级别时，权重的理论序列给出了准确的近似值。然而，这种理论比较并不完全符合用于数据分析的离散随机模型。一个更实际的比较是这里提出的离散 MR 基与 Mat ern 家族成员的匹配程度。我们研究了给定 θl = 2−l 但在 {κl} 和 {αl} 上优化的近似值的质量。请注意，此方案与理论设置略有不同，因为允许 κl 独立于 θl 而变化，并且 αl 不限于 θl 的幂。选择近似值时最重要的约束是网格大小（mx 和 my）和层数 L 的初始选择。应选择节点间距，以便最粗略的层与过程相关范围和 L 这样最精细的基函数比过程的最精细空间尺度具有更小的尺度。该模型的一个优点是选择范围参数 κ 的灵活性意味着网格间距不需要完全符合过程的相关尺度。</p>
<p>图 2 中的第一列显示了使用 3 级和 4 级 MR 基函数对范围参数为 0.1、0.5 和 1.0 的指数协方差进行的近似。通过最小化区间 [0, 1] 中 200 个距离的网格上的近似值和目标协方差函数之间的均方误差，找到了 MR 参数 κl 和 αl。最粗糙的基函数中心组织在正方形 [−1, 1] × [−1, 1] 上的 10 × 10 网格上，因此具有四个级别的近似值具有 102 + 192 + 372 + 732 = 7159 二维基具有包含在空间域中的节点的函数。考虑到缓冲区，总共有 10,339 个基函数。上一行中的图是目标协方差和近似协方差，作为沿 x 轴距点 (0, 0) 的距离的函数。近似值接近于静止和各向同性，因此这种比较代表沿其他方向的距离。在第一行图中，实线是协方差，虚线是三个水平的近似值，虚线是四个水平的近似值。</p>
<p>毫不奇怪，近似值在低于最佳基函数分辨率的小距离处失效。此功能由下行中的图突出显示，其中为接近零的范围内的点给出了近似值。字符“3”和“4”表示基函数的最小尺度，因此表示这些选择的 MR 限制。一般来说，通过将 L 增加到 4 以上可以直接改进此近似值。对 Whittle 协方差 (ν = 1) 进行了类似的近似，除了最大范围参数外，最粗糙的基础以 5 × 5 网格为中心（给出总1484 个基函数）。这种情况是一个示例，其中由于零处协方差的平滑性，较粗糙的初始网格 (5 × 5) 给出了更好的近似值。请注意，在误差图中还有一个小伪像，即来自基函数离散间距的波纹特征。图 2 的第三列是 MR 逼近更一般相关函数的能力的示例。这也许是该模型灵活性的最显着示例。这里的目标是指数的混合：0.4exp(−d/0.1) + 0.6exp(−d/3)。作为参考，各个指数相关函数绘制为灰色实线。该近似值也是准确的，误差位于原点附近并且在 MR 的最小尺度以下较大。</p>
<h2 id="5-北美夏季降水">5 北美夏季降水</h2>
<p>略</p>
<h2 id="6-讨论与结论">6 讨论与结论</h2>
<p>这项工作为空间过程开发了一种新模型：基于固定秩克里金法和从马尔可夫随机场继承的计算效率的思想构建的格子/基础模型。关键贡献在于，不同尺度的过程的独立总和可以逼近更大的过程族，不限于每个分辨率级别的协方差属性。我们模型的一个优势是数值证据表明它可以准确地再现 Mat ern 协方差族。我们还给出了一些基于理论卷积模型的渐近结果，表明可以实现一系列平滑特性。考虑到格子/基过程具有由基函数的选择控制的固定平滑度，这个结果是出乎意料的。</p>
<p>除了作为新协方差模型的格/基公式的价值之外，在大型数据集的计算效率方面也有同样重要的贡献。事实上，我们的观点是，只有当大量观察位置允许准确估计协方差参数时，才能利用更复杂的协方差模型。因此，有效的计算是娱乐新空间模型所固有的。我们已经成功地确定了允许计算估计协方差参数的可能性和使用大型数据集预测空间场的算法。</p>
<p>由于根据 SAR 描述了随机空间元素，因此可以直接提出对格基模型的非平稳扩展。一个人会允许 κl 和 αl 在每一层的晶格上变化。额外的改进将允许相邻格点之间的 SAR 权重与方向相关。特别是将 SAR 权重扩展到八个一阶和二阶邻居可以允许具有方向或各向异性依赖性的模型。这些参数的空间变化可以通过一组协变量和固定效应来建模，或者可以包括先于这些参数字段的空间过程。我们的方法以及相关的 SPDE 和过程卷积模型的优势在于，人们将始终获得有效的协方差函数，因为该模型侧重于过程级描述。</p>
<p>我们推测 RBF 的 Wendland 族的选择并不重要，其他紧支持的正定函数也可以使用。此外，通过将距离度量修改为弦距离之一，还可以将这些想法扩展到球体。然而，扩展到球形过程的一个障碍是为节点设计非矩形网格并在这些点上制定 SAR。</p>
<p>最后，我们注意到格子/基础模型可以使用一组简单的数值算法和现成的软件来实现。一个 R 实现是可用的，带有记录和注释的源代码，并使用通用稀疏矩阵 R 包 spam.TheLatticeKrig 源代码主要是用 R 语言编写的，有限使用较低级别的 C 或 FORTRAN 函数，因此很容易修改。</p>
<h2 id="参考文献">参考文献</h2>
<ul id="refplus"><li id="ref-Banerjee2003" data-num="1">[1]  Banerjee, S., Gelfand, A. E., and Carlin, B. P. (2003), Hierarchical Modeling and Analysis for Spatial Data,Boca Raton, FL: CRC Press.</li><li id="ref-Caragea2007" data-num="2">[2]  Caragea, P. C., and Smith, R. L. (2007), “Asymptotic Properties of Computationally Efficient Alternative Estimators for a Class of Multivariate Normal Models,” Journal of Multivariate Analysis, 98, 1417–1440.</li><li id="ref-Cressie2008" data-num="3">[3]  Cressie, N. A. C., and Johannesson, G. (2008), “Fixed Rank Kriging for Very Large Spatial Data Sets,” Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 70, 209–226. [580,581] Cressie, N., and Wikle, C. K. (2011), Statistics for Spatio-Temporal Data, New York: Wiley.</li><li id="ref-Eidsvik2010" data-num="4">[4]  Eidsvik, J., Finley, A. O., Banerjee, S., and Rue, H. (2010), “Approximate Bayesian Inference for Large Spatial Datasets Using Predictive Process Models,” Computational Statistics &amp; Data Analysis, 56, 1362–1380.</li><li id="ref-Fuentes2007" data-num="5">[5]  Fuentes, M. (2007), “Approximate Likelihood for Large Irregularly Spaced Spatial Data,” Journal of the American Statistical Association, 102, 321.</li><li id="ref-Furrer2012" data-num="6">[6]  Furrer, R., Nychka, D., and Sain, S. (2012), “Fields: Tools for Spatial Data,” available at http://www.image. ucar.edu/Software/Fields. R package version 6.6.4.</li><li id="ref-Henderson1981" data-num="7">[7]  Henderson, H. V., and Searle, S. R. (1981), “On Deriving the Inverse of a Sum of Matrices,” SIAM Review, 23, 53–60.</li><li id="ref-Higdon1998" data-num="8">[8]  Higdon, D. M. (1998), “A Process-Convolution Approach to Modelling Temperatures in the North Atlantic Ocean,” Environmental and Ecological Statistics, 5, 173–190.</li><li id="ref-Katzfuss2011" data-num="9">[9]  Katzfuss, M., and Cressie, N. (2011), “Spatio-Temporal Smoothing and Em Estimation for Massive RemoteSensing Data Sets,” Journal of Time Series Analysis, 32, 430–446.</li><li id="ref-Lindgren2007" data-num="10">[10]  Lindgren, F., and Rue, H. (2007), “Explicit Construction of gmrf Approximations to Generalized Mat ́ ern Fields on Irregular Grids,” Technical Report, Lund Institute of Technology. Available at http://lup.lub.lu.se/record/912688.</li><li id="ref-Lindgren2011" data-num="11">[11]  Lindgren, F., Rue, H., and Lindstr ̈ om, J. (2011), “An Explicit Link Between Gaussian Fields and Gaussian Markov Random Fields: The Stochastic Partial Differential Equation Approach,” Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 73, 423–498.</li><li id="ref-Nychka2013" data-num="12">[12]  Nychka, D., Bandyopadhyay, S., Hammerling, D., Lindgren, F., and Sain, S. (2013), “A MultiResolution Gaussian Process Model for the Analysis of Large Spatial Data Sets,” available at http://www.ucar.edu/library/collections/technotes. NCAR Tech Note.</li><li id="ref-Nychka2012" data-num="13">[13]  Nychka, D., Hammerling, D., Sain, S., and Lerud, T. (2012), “LatticeKrig: Multiresolution Kriging Based on Markov Random Fields,” available at http://www.image.ucar.edu/Software/MRKriging. R package version 2.3.</li><li id="ref-RDevelopmentCoreTeam2011" data-num="14">[14]  R Development Core Team (2011), R: A Language and Environment for Statistical Computing, Vienna, Austria: R Foundation for Statistical Computing. available at http://www.R-project.org/.</li><li id="ref-Rue2005" data-num="15">[15]  Rue, H., and Held, L. (2005), Gaussian Markov Random Fields: Theory and Applications (Vol. 104), Boca Raton, FL: Chapman &amp; Hall/CRC.</li><li id="ref-Sang2011" data-num="16">[16]  Sang, H., and Huang, J. Z. (2011), “A Full Scale Approximation of Covariance Functions for Large Spatial Data Sets,” Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 74, 111–132.</li><li id="ref-Stein2008" data-num="17">[17]  Stein, M. L. (2008), “A Modeling Approach for Large Spatial Datasets,” Journal of the Korean Statistical Society, 37, 3.</li><li id="ref-Stein2004" data-num="18">[18]  Stein, M. L., Welty, L. J., and Chi, Z. (2004), “Approximating Likelihoods for Large Spatial Data Sets,” Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 66, 275–296.</li><li id="ref-Wendland1995" data-num="19">[19]  Wendland, H. (1995), “Piecewise Polynomial, Positive Definite and Compactly Supported Radial Functions of Minimal Degree,” AICM, 4, 389–396.</li><li id="ref-Wendland1998" data-num="20">[20]  Wendland, H. (1998), “Error Estimates for Interpolation by Compactly Supported Radial Basis Functions of Minimal Degree,” Journal of Approximation Theory, 93, 258–272.</li></ul>

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    </article><div class="post-copyright"><div class="post-copyright__author"><span class="post-copyright-meta">文章作者: </span><span class="post-copyright-info"><a href="http://xishansnow.github.io">西山晴雪</a></span></div><div class="post-copyright__type"><span class="post-copyright-meta">文章链接: </span><span class="post-copyright-info"><a href="http://xishansnow.github.io/posts/64aaedc.html">http://xishansnow.github.io/posts/64aaedc.html</a></span></div><div class="post-copyright__notice"><span class="post-copyright-meta">版权声明: </span><span class="post-copyright-info">本博客所有文章除特别声明外，均采用 <a href="https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/" target="_blank">CC BY-NC-SA 4.0</a> 许可协议。转载请注明来自 <a href="http://xishansnow.github.io" target="_blank">西山晴雪的知识笔记</a>！</span></div></div><div class="tag_share"><div class="post-meta__tag-list"><a class="post-meta__tags" href="/tags/%E7%BB%BC%E8%BF%B0/">综述</a><a class="post-meta__tags" 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fa-fw"></i> 2023-01-14</div><div class="title">Vecchia 近似似然法</div></div></a></div><div><a href="/posts/fe6491e.html" title="Vecchia 近似似然法的通用框架"><img class="cover" src="/img/coffe_05.png" alt="cover"><div class="content is-center"><div class="date"><i class="far fa-calendar-alt fa-fw"></i> 2023-01-30</div><div class="title">Vecchia 近似似然法的通用框架</div></div></a></div></div></div></div><div class="aside-content" id="aside-content"><div class="sticky_layout"><div class="card-widget" id="card-toc"><div class="item-headline"><i class="fas fa-stream"></i><span>目录</span><span class="toc-percentage"></span></div><div class="toc-content"><ol class="toc"><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#1-%E7%AE%80%E4%BB%8B"><span class="toc-text">1 简介</span></a></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#2-%E7%A9%BA%E9%97%B4%E6%A8%A1%E5%9E%8B"><span class="toc-text">2 空间模型</span></a><ol class="toc-child"><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#2-1-%E8%BF%87%E7%A8%8B%E5%92%8C%E8%A7%82%E6%B5%8B%E6%A8%A1%E5%9E%8B"><span class="toc-text">2.1 过程和观测模型</span></a></li><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#2-2-%E7%A9%BA%E9%97%B4%E4%BC%B0%E8%AE%A1"><span class="toc-text">2.2 空间估计</span></a></li><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#2-3-%E5%BE%84%E5%90%91%E5%9F%BA%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%88RBF%EF%BC%89"><span class="toc-text">2.3 径向基函数（RBF）</span></a></li><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#2-4-%E9%A9%AC%E5%B0%94%E5%8F%AF%E5%A4%AB%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E5%9C%BA"><span class="toc-text">2.4 马尔可夫随机场</span></a></li><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#2-5-%E5%A4%9A%E5%88%86%E8%BE%A8%E7%8E%87%E8%BF%87%E7%A8%8B%E7%9A%84%E6%89%A9%E5%B1%95"><span class="toc-text">2.5 多分辨率过程的扩展</span></a></li><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#2-6-%E8%BF%91%E4%BC%BC%E5%B9%B3%E7%A8%B3%E7%9A%84%E5%BD%92%E4%B8%80%E5%8C%96"><span class="toc-text">2.6 近似平稳的归一化</span></a></li></ol></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#3-%E8%AE%A1%E7%AE%97%E7%AD%96%E7%95%A5%E5%92%8C%E6%97%B6%E9%97%B4%E7%BB%93%E6%9E%9C"><span class="toc-text">3 计算策略和时间结果</span></a><ol class="toc-child"><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#3-1-%E7%A9%BA%E9%97%B4%E9%A2%84%E6%B5%8B%E5%92%8C%E4%BC%BC%E7%84%B6%E8%AE%A1%E7%AE%97"><span class="toc-text">3.1 空间预测和似然计算</span></a></li></ol></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#4-%E5%8D%8F%E6%96%B9%E5%B7%AE%E6%A8%A1%E5%9E%8B%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B4%A8"><span class="toc-text">4. 协方差模型的性质</span></a><ol class="toc-child"><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#4-1-%E4%B8%8E%E5%8D%B7%E7%A7%AF%E8%BF%87%E7%A8%8B%E7%9A%84%E6%AF%94%E8%BE%83"><span class="toc-text">4.1 与卷积过程的比较</span></a></li><li class="toc-item toc-level-3"><a class="toc-link" href="#4-2-%E6%95%B0%E5%80%BC%E9%80%BC%E8%BF%91"><span class="toc-text">4.2 数值逼近</span></a></li></ol></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#5-%E5%8C%97%E7%BE%8E%E5%A4%8F%E5%AD%A3%E9%99%8D%E6%B0%B4"><span class="toc-text">5 北美夏季降水</span></a></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#6-%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E7%BB%93%E8%AE%BA"><span class="toc-text">6 讨论与结论</span></a></li><li class="toc-item toc-level-2"><a class="toc-link" href="#%E5%8F%82%E8%80%83%E6%96%87%E7%8C%AE"><span class="toc-text">参考文献</span></a></li></ol></div></div></div></div></main><footer id="footer"><div id="footer-wrap"><div class="copyright">&copy;2020 - 2023 By 西山晴雪</div><div class="framework-info"><span>框架 </span><a target="_blank" rel="noopener" href="https://hexo.io">Hexo</a><span class="footer-separator">|</span><span>主题 </span><a target="_blank" rel="noopener" href="https://github.com/jerryc127/hexo-theme-butterfly">Butterfly</a></div></div></footer></div><div id="rightside"><div id="rightside-config-hide"><button id="readmode" type="button" title="阅读模式"><i class="fas fa-book-open"></i></button><button id="translateLink" type="button" title="简繁转换">繁</button><button id="darkmode" type="button" title="浅色和深色模式转换"><i class="fas fa-adjust"></i></button><button id="hide-aside-btn" type="button" title="单栏和双栏切换"><i class="fas fa-arrows-alt-h"></i></button></div><div id="rightside-config-show"><button id="rightside_config" type="button" title="设置"><i class="fas fa-cog fa-spin"></i></button><button class="close" id="mobile-toc-button" type="button" title="目录"><i class="fas fa-list-ul"></i></button><button id="go-up" type="button" title="回到顶部"><i class="fas fa-arrow-up"></i></button></div></div><div id="algolia-search"><div class="search-dialog"><nav class="search-nav"><span class="search-dialog-title">搜索</span><button class="search-close-button"><i class="fas fa-times"></i></button></nav><div class="search-wrap"><div id="algolia-search-input"></div><hr/><div id="algolia-search-results"><div id="algolia-hits"></div><div id="algolia-pagination"></div><div id="algolia-info"><div class="algolia-stats"></div><div class="algolia-poweredBy"></div></div></div></div></div><div id="search-mask"></div></div><div><script src="/js/utils.js"></script><script src="/js/main.js"></script><script src="/js/tw_cn.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/@fancyapps/ui/dist/fancybox.umd.min.js"></script><script>function panguFn () {
  if (typeof pangu === 'object') pangu.autoSpacingPage()
  else {
    getScript('https://cdn.jsdelivr.net/npm/pangu/dist/browser/pangu.min.js')
      .then(() => {
        pangu.autoSpacingPage()
      })
  }
}

function panguInit () {
  if (true){
    GLOBAL_CONFIG_SITE.isPost && panguFn()
  } else {
    panguFn()
  }
}

document.addEventListener('DOMContentLoaded', panguInit)</script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/algoliasearch/dist/algoliasearch-lite.umd.min.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/instantsearch.js/dist/instantsearch.production.min.js"></script><script src="/js/search/algolia.js"></script><script>var preloader = {
  endLoading: () => {
    document.body.style.overflow = 'auto';
    document.getElementById('loading-box').classList.add("loaded")
  },
  initLoading: () => {
    document.body.style.overflow = '';
    document.getElementById('loading-box').classList.remove("loaded")

  }
}
window.addEventListener('load',preloader.endLoading())</script><div class="js-pjax"><link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex/dist/katex.min.css"><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/katex/dist/contrib/copy-tex.min.js"></script><script>(() => {
  document.querySelectorAll('#article-container span.katex-display').forEach(item => {
    btf.wrap(item, 'div', { class: 'katex-wrap'})
  })
})()</script><script>(() => {
  const $mermaidWrap = document.querySelectorAll('#article-container .mermaid-wrap')
  if ($mermaidWrap.length) {
    window.runMermaid = () => {
      window.loadMermaid = true
      const theme = document.documentElement.getAttribute('data-theme') === 'dark' ? '' : ''

      Array.from($mermaidWrap).forEach((item, index) => {
        const mermaidSrc = item.firstElementChild
        const mermaidThemeConfig = '%%{init:{ \'theme\':\'' + theme + '\'}}%%\n'
        const mermaidID = 'mermaid-' + index
        const mermaidDefinition = mermaidThemeConfig + mermaidSrc.textContent
        mermaid.mermaidAPI.render(mermaidID, mermaidDefinition, (svgCode) => {
          mermaidSrc.insertAdjacentHTML('afterend', svgCode)
        })
      })
    }

    const loadMermaid = () => {
      window.loadMermaid ? runMermaid() : getScript('https://cdn.jsdelivr.net/npm/mermaid/dist/mermaid.min.js').then(runMermaid)
    }

    window.pjax ? loadMermaid() : document.addEventListener('DOMContentLoaded', loadMermaid)
  }
})()</script></div><script id="canvas_nest" defer="defer" color="0,0,255" opacity="0.7" zIndex="-1" count="99" mobile="false" src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/butterfly-extsrc/dist/canvas-nest.min.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/butterfly-extsrc/dist/activate-power-mode.min.js"></script><script>POWERMODE.colorful = true;
POWERMODE.shake = true;
POWERMODE.mobile = false;
document.body.addEventListener('input', POWERMODE);
</script><link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/aplayer/dist/APlayer.min.css" media="print" onload="this.media='all'"><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/aplayer/dist/APlayer.min.js"></script><script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/butterfly-extsrc/metingjs/dist/Meting.min.js"></script></div></body></html>